Le théorème de Pythagore sert-il réellement ?

Pythagore de Samos

Introduction

Pythagore de Samos (ville grecque) est connu pour « son » théorème (nous verrons pourquoi ces guillemets plus tard), mais à 18 ans, il a avant tout participé aux jeux olympiques, catégorie pugilat (c’est comme la boxe, sauf qu’il y avait du fer dans les gants… valait mieux pas se prendre une mandale!). Et il était très bon puisqu’il remporta toutes les épreuves.

Ensuite, il voyagea… beaucoup ! Il s’installa en Egypte pendant 20 ans et retourna en Grèce après 40 ans de voyage. Je vous passe les détails mais il fonda par la suite une école à Crotone, en Italie.

Pour plus de détails, consultez la page https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-mathematiciens/175-pythagore-de-samos

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Dans cette école, il y avait les mathématiciens, c’est-à-dire ceux qui faisaient les maths, et les acousmaticiens, ceux qui écoutaient les autres et notamment, les résultats (sans les démonstrations… un peu comme les élèves de collège). C’est dans cette école que l’on vit le théorème de Pythagore (qui n’a donc pas été trouvé par Pythagore lui-même mais par un de ses élèves).

Cependant, il faut savoir que ce théorème était bien connu des chinois, et même des mésopotamiens… Mais sous une forme plus basique. 

Le théorème de l’ami Pyth.

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Hippase de Métaponte, élève de Pythagore de Samos.
Théorème de Pythagore

Le mot hypoténuse vient du grec et signifie « sous-tendu », car c’est le côté qui est sous-tendu à l’angle droit (les grecs représentaient un triangle rectangle toujours le sommet de l’angle droit en haut).

À ce théorème, on associe sa réciproque :

Si, dans un triangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore.

À quoi sert tout ça ?

Vérifier si une étagère est perpendiculaire au mur

L’étagère est-elle perpendiculaire au mur ?

En sachant les longueurs AB, AC et BC, on peut voir d’une part que: $$BC^2=1,34^2=1,7956$$ et d’autre part :$$AB^2+AC^2=0,6^2+1,2^2=1,8.$$ (attention ici a exprimer toutes les mesures en la même unité, à savoir ici le mètre).

On constate alors que \( BC^2 \approx AB^2 + AC^2 \) donc, avec la précision des mesures qui nous est naturellement imposée, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A et donc que l’étagère est perpendiculaire au mur.

Soulever une armoire

Va-t-il y arriver ?

Voici un problème classique qui fait appel à Pythagore. En effet, l’armoire peut-être considérée comme un rectangle, et donc en la coupant suivant sa diagonale, on a un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires ont pour mesure 0,7 m et 2,1 m. Donc d’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse mesure \(\sqrt{0,7^2+2,1^2}=\sqrt{4,9}\approx2,2136\) mètres, donc légèrement plus grande que la hauteur du plafond.

Ainsi, pour que l’armoire puisse basculer correctement, il faudrait carrément forcer comme une brute, quitte à casse le coin de l’armoire ou bien, si on a anticipé en faisant ce calcul, monter directement l’armoire à la verticale plutôt qu’à l’horizontale.

Dans un repère orthogonal (lycée)

Après le collège, beaucoup de mathématiques se font dans un repère : ce sont les mathématiques cartésiennes (du nom du mathématicien français René Descartes). En effet, c’est bien plus pratique dans pas mal de cas! Un tel repère est constitué de deux axes gradués perpendiculaires (ne sentez-vous pas Pythagore ?) 

Pour comprendre, prenons un exemple : on met deux points A et B au hasard. 

Calcul de la distance entre deux points dans un repère orthogonal (ici orthonormé)

Ici, on dit que le point A a pour coordonnées (1;2) et que le point B a pour coordonnées (7;5).

Pour calculer la longueur AB, on peut utiliser le théorème de Pythagore car le segment rouge et les segments en pointillés verts forment un triangle rectangle. Ainsi, $$AB^2=6^2+3^2=36+9=45$$ et donc:$$AB=\sqrt{45}.$$Dans un contexte comme celui-ci, on ne met pas de valeur approchée. On garde donc \(\sqrt{45}\) ou, si on veut, \(3\sqrt{5}\), ce qui est la même chose car:$$\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\sqrt5.$$

Pouvoir calculer une longueur ainsi s’avère très utile en mathématiques dans des contextes plus compliqués. On peut ainsi, par exemple, calculer la distance qui sépare un point d’une droite.

Les triplets pythagoriciens

Définition

Il n’y a pas qu’en géométrie que l’on rencontre Pythagore. En effet, en arithmétique, on nomme triplets pythagoriciens tout triplet (x;y;z) tels que \(x^2+y^2=z^2\).

On dira que le triplet est primitif si xy et z sont premiers entre eux, c’est-à-dire si pgcd(x;y)=1, pgcd(x;z)=1 et pgcd(y;z)=1.

Propriétés

Une propriété sur les triplets pythagoriciens primitifs est:

Si (x;y;z) est un triplet pythagoricien primitif alors x et y sont de parité différentes. z est alors impair.

Propriété sur les triplets pythagoriciens primitifs.

Il y a aussi le théorème suivant :

Il y a équivalence entre les deux propriétés suivantes:

(i) (x;y;z) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair

(ii) il existe deux entiers non nuls p et q de parités différentes tels que p > q, pgcd(p;q)=1, tels que x = p² – q², y = 2pq et z = p² + q².

Théorème fondamental sur les triplets pythagoriciens.

À l’aide de ce théorème, on peut alors trouver tous les triplets pythagoriciens primitifs que l’on veut. Par exemple, ceux dont les termes sont inférieurs à 100 sont:

(3, 4, 5)   (20, 21, 29) (11, 60, 61)

(13, 84, 85) (5, 12, 13)  (12, 35, 37)

(16, 63, 65) (36, 77, 85) (8, 15, 17)  

(9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89) 

(7, 24, 25)  (28, 45, 53) (48, 55, 73)

(65, 72, 97)

Génération algébrique

En 1934, Berggren démontra que tout triplet pythagoricien pouvait se trouver à partir du triplet (3;4;5) à l’aide des matrices:$$\mathcal{R}_1=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix},\ \mathcal{R_2}=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},\ \mathcal{R}_3=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}.$$

Par exemple, en posant \(P=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\),$$\mathcal{R}_1\times
\mathcal{R}_2\times\mathcal{R}_3\times P=\begin{pmatrix}115\\252\\277\end{pmatrix}$$ qui est un triplet pythagoricien primitif.

Une application complexe

Penchons-nous sur l’application complexe \(z \mapsto z^2\) et plus particulièrement sur l’image des entiers de Gauss, c’est-à-dire des nombres z tels que z = a + ib, où a et b sont deux entiers relatifs. Ces nombres constituent un ensemble que l’on note \(\mathbb{Z}[\text{i}]\). L’image d’un élément de \(\mathbb{Z}[\text{i}]\) est: $$ z’=(a+\text{i}b)^2=a^2-b^2+2ab\text{i}.$$De plus, on remarque que:$$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2.$$ On peut alors dire qu’à chaque image correspond un triplet pythagoricien.

Le théorème de Pythagore généralisé

L’inconvénient du théorème de Pythagore est que le triangle doit être rectangle. Dans le cas où ce dernier ne l’est pas, on peut tout de même calculer un côté dans la mesure où l’on connaît au moins un angle : c’est le théorème d’Al-Kashi.

Théorème d’Al-Kashi

Dans le cas où \(\hat{A}=90^\circ\), on retrouve le théorème de Pythagore.

Épilogue

Bon, je me suis un peu lâché dans cet article, je l’avoue… Mais la chose à retenir, c’est que le théorème de Pythagore est très utile en sciences, mais peut aussi servir de temps en temps dans la vraie vie.

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