Des pourcentages à toutes les sauces

D’aussi loin que je me souvienne, je n’ai cessé d’entendre ci et là des absurdité sur les pourcentages. Je pense que c’est la notion mathématique la moins comprise, et pas seulement par les élèves, mais par tout le monde… y compris certains journalistes.

Il est donc de mon devoir de tenter de rétablir les choses. Et cela commence par cet article.

C’est quoi un pourcentage ?

Bon, déjà, la question que l’on peut se poser est celle-ci, mais elle est mal posée car la réponse est complexe : c’est une valeur relative. Vous êtes bien avancés n’est-ce pas ? En plus, c’est pas totalement exact car il n’existe pas qu’une seule sorte de pourcentages…

Un pourcentage comme une partie d’un tout

C’est la première définition que l’on voit dans notre vie :

Si on considère un groupe de personnes, un pourcentage de ce groupe est une partie du groupe. C’est une fraction de ce groupe.

Le prof de math, M. LAFREU, en 6ème Z.

En effet, si on considère un groupe de 150 personnes par exemple, 30% de ces personnes représentent un sous-groupe constitué de moins de 150 personnes. Pour calculer le nombre de personnes que cela représente, il suffit de se dire que 30% est exactement comme la fraction \(\frac{30}{100}\) et que le nombre cherché se calcule ainsi : $$ \frac{30}{100}\times150=\frac{30\times150}{100}=\frac{4500}{100}=45.$$ Ainsi, 30% de 150 personnes représentent 45 personnes.

Et l’inverse ? Comment fait-on pour trouver le pourcentage ?

Comme un pourcentage est une fraction (dont le dénominateur est égal à 100), si on cherche le pourcentage que représentent 45 personnes par rapport à 150 personnes, il suffit de traduire ce rapport par une fraction : \(\frac{45}{150}\). Et comme on veut le ramener à 100 (car dans « pourcentage », il y a « cent »), il faut multiplier cette fraction par 100. Ainsi, 45 personnes par rapport à 150 personnes représentent \(\frac{45}{150}\times100=\frac{45\times100}{150}=30%\).

Un pourcentage est une valeur relative

c’est-à-dire une valeur qui se rapporte à un autre nombre

On ne peut donc pas parler simplement de « 55% » sans dire le nombre par rapport auquel on effectue le pourcentage. Il faut toujours dire « 55% d’un nombre ».

Récréation

Que représente en pourcentage la partie coloriée en bleu ?

Pour savoir ce que représente en pourcentage la partie coloriée en bleu par rapport à l’aire du carré, on peut avant tout compter le nombre de carreaux dans le carré : il y en a 100. Ensuite, il y a 13 carreaux coloriés en bleu, sur les 100 au total. Cela représente donc 13% de l’aire du carré.

Pourcentages d’évolution

C’est là que les choses se compliquent un peu. Imaginons la situation suivante : un article vaut 150 € et un mois plus tard, il vaut 200 €. Il y a donc eu évolution du prix. Mais quel genre d’évolution ? Comme le prix a augmenté, on parle bien sûr d’augmentation. Mais quelle augmentation par rapport au prix initial ? On voit bien que le prix a augmenté de 50 €. Il s’agit donc ici de regardé ce que représentent 50 € par rapport au prix initial, à savoir 150 € : \(\frac{50}{150}\times100\approx33,33%\). On dit alors que le prix a augmenté d’environ 33%.

Coefficient multiplicateur

On peut aussi diviser le prix final par le prix initial \(\frac{200}{150}\approx1,33\). Ce résultat nous donne ce que l’on appelle le coefficient multiplicateur. On remarque alors qu’il est égal à \(1+\frac{30}{100}\). Il y a donc un lien entre le coefficient multiplicateur (CM) et le pourcentage d’évolution, que l’on nomme aussi le taux d’évolution (t):$$\text{CM}=1+\frac{t}{100}.$$On a donc la formule suivante:$$\text{valeur finale}=\text{CM}\times\text{valeur initiale}=\left(1+\frac{t}{100}\right)\times\text{valeur initiale}.$$

Évolutions successives

Imaginons maintenant que le prix d’un article augmente de 5% par an pendant 2 ans. Après ces 2 années, de combien a-t-il augmenté par rapport au prix initial ? Pour répondre à cette question, on peut illustrer la situation ainsi:$$\text{V_0}\rightarrow V_1=\left(1+\frac{5}{100}\right)\times V_0 \rightarrow V_2=\left(1+\frac{5}{100}\right)V_1=\left(1+\frac{5}{100}\right)^2V_0 .$$Autrement dit, \(V_2=\text{CM}^2V_0\). Et en généralisant, on peut même écrire que \(V_5=\text{CM}^5V_0\) et plus encore :$$\text{pour }n\text{ entier, }V_n=\text{CM}^nV_0.$$

Evolution moyenne

Imaginons qu’un article voit son prix augmenté de 30% sur 5 ans. Tout journaliste médiocre qui se respecte affirmera sans scrupule que cela signifie que le prix a augmenté de 6% par an car \(30\div5=6\). Pourtant, si on applique la formule précédente, en prenant par exemple \(V_0=100\), on voit que:$$V_5=\left(1+\frac{6}{100}\right)^5\times100\approx133,82.$$Or, comme le prix a augmenté de 30% sur 5 ans, on devrait trouver au final 130€. Le journaliste dit donc n’importe quoi.

En effet, pour connaître le pourcentage d’évolution annuel moyen, il faudrait avant tout connaître le nombre CM tel que \(\text{CM}^5=1,3\) car le coefficient multiplicateur pour passer du prix initial au prix final est \(1+\frac{30}{100}=1,3\) dans la mesure où le pourcentage d’évolution est 30%. On obtient alors \(\text{CM}=\sqrt[5]{1,3}=1,3^{1/5}\approx1,05387\). En multipliant par 100 la partie décimale, on obtient 5,387. Le pourcentage annuel moyen d’évolution est donc égal à peu près à 5,387% et non 6%.

janvier 1, 2019

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