Paraboles et second degré

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Non, ce n’est pas le titre d’une pièce de théâtre burlesque, même si je trouverais ça plutôt intéressant, mais le titre d’un article qui va traiter des polynômes de degré 2, qui sont généralement enseignés dans lycées Français.

Au commencement…

Tout part de la fonction \( x\mapsto x^2\), que l’on appelle la fonction carré. C’est une fonction simple puisqu’elle consiste à élever au carré le nombre x, quel qu’il soit. On dit alors que l’image de x est son carré.

Par exemple, l’image du nombre -3 est \((-3)^2\), c’est-à-dire 9.

La courbe représentative de cette fonction est alors la suivante:

Courbe représentative de la fonction carré

Cette courbe fait partie d’une grande famille que l’on nomme la famille des paraboles, elle-même incluse dans une famille plus vaste que l’on appelle les coniques.

Les coniques sont des courbes géométriques aux propriétés intéressantes. Nous allons nous pencher sur l’une des propriétés des paraboles : la propriété de réfraction.

La propriété de réfraction

Imaginons des rayons du Soleil qui arrivent sur notre parabole d’équation \(y=x^2\). Le Soleil étant assez loin, on peut estimer que les rayons arrivent parallèlement à l’axe des ordonnées (on imagine que la parabole est posée de sorte que ce soit le cas) .

Considérons un rayon qui arrive jusqu’à un point sur la parabole (en pointillés bleus et rose sur le schéma ci-dessous. On trace alors une droite qui frôle la parabole en ce point (on dit que cette droite est tangente à la parabole); c’est la droite en trait plein (bleue et rose sur le schéma). Alors, le rayon fait un certain angle avec cette tangente (\(\alpha\) et \(\gamma\) sur le schéma). La propriété de réfraction des paraboles font que ce rayon sera réfracté de sorte que le rayon réfracté fera un angle égal à l’angle que fait le rayon réfléchi avec la tangente (en d’autres termes, \(\alpha=\beta\) et \(\gamma=\delta\)).

Propriété de réfraction des paraboles

Ce qu’il y a d’intéressant est que tous les rayons se réfractent vers un même point; c’est ce que l’on appelle le foyer de la parabole.

Le foyer de la parabole

Toute parabole admet un axe de symétrie : c’est la droite qui passe par le foyer et le sommet de la parabole.

Les paraboloïdes

Ce mot semble un peu compliqué, et c’est sans doute pour cela que dans le langage courant, on préfère les dénommer paraboles, tout simplement…

Les paraboloïdes sont en fait les objets qui résultent de la rotation d’une parabole autour de leur axe de symétrie. C’est, par exemple, la parabole qui va recevoir des informations provenant d’un satellite.

Une parabole qui capte des signaux provenant de satellites

Bon, on ne va pas se mentir, la forme paraboloïde, on ne la voit pas beaucoup car les paraboles que l’on accroche aux murs de nos maisons sont formées à partir du « cul » de la parabole (en effet, il ne faudrait pas que la parabole que l’on accroche soit trop incurvée sinon certains signaux pourraient ne pas parvenir en son intérieur pour être réfractés).

Et z »avez remarqué ? Il y a comme qui dirait un bidule à quelques dizaines de centimètres de l’objet… Et bien, comme par hasard, ce bidule (qui est en fait un récepteur) se trouve à l’endroit même où se trouve le foyer de la parabole. C’est donc au niveau de ce récepteur que tous les signaux vont se dirigés (conformément à la propriété de réfraction des paraboles, et donc des paraboloïdes). Et bien sûr, c’est fait exprès… sinon les signaux se perdraient ! Mais ça, vous l’avez compris…

Revenons aux mathématiques

Si l’on part de la fonction carré et si on la multiplie par un nombre a, on va l’étirer (vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0). Si dessous, j’ai représenté en vert la fonction carré, en rouge la fonction \(x\mapsto 2x^2\) (donc a = 2) et en bleu la fonction \(x\mapsto -1,5x^2\) (donc a = -1,5).

Étirements de la courbe représentative de la fonction carré

Si maintenant je pose \(f(x)=x^2\) et que je considère les fonctions de la forme \(g(x)=f(x+\alpha)\), je vais pouvoir visualiser les courbes représentatives des fonctions en effectuant une translation de vecteur \(\vec{u}(-\alpha;0)\). Ci-dessous, j’ai tracé la courbe représentative de la fonction \(x\mapsto(x+2)^2\).

Translation horizontale de la courbe représentative de la fonction carré

Et enfin, toujours à partir de la fonction carré, si je pose \(h(x)=x^2+\beta\), j’obtiens la courbe représentative de h à partir de la représentation de la fonction carré en faisant une translation de vecteur \(\vec{v}(0;\beta)\). Ci-dessous, j’ai tracé la représentation de la fonction \(x\mapsto x^2-2\).


Translation verticale de la courbe représentative de la fonction carré

Nous avons séparément 3 transformations; pour \(f(x)=x^2\),

  • étirements : \( af(x)\)
  • translation horizontale : \( f(x+\alpha) \)
  • translation verticale : \( f(x) + \beta\).

Et parce que je suis un « guedin », j’ai envie de faire ces 3 transformations en même temps ! Je vais donc considérer la fonction \(g\;:\;x \mapsto a\cdot f(x+\alpha) + \beta\). Ouais, je suis un fou moi !

Dans ce cas, \(g(x)=a(x+\alpha)^2+\beta\). Cette forme porte un nom précis : c’est une forme canonique. Et en l’occurrence, g(x) est ce que l’on nomme une fonction du second degré. C’est la forme algébrique générale de toutes les paraboles qui existent.

Et quand on développe une telle forme canonique, on obtient une expression développée : \( g(x) = ax^2+bx+c\).

Une forme factorisée ?

Quand on a la forme développée d’une fonction du second degré, si on a la chance de pouvoir trouver sa forme canonique, on peut voir assez facilement si la fonction peut se factoriser.

Par exemple, si \(f(x)=4(x-2)^2-25\) alors on peut voir cette expression sous la forme : $$f(x)=\big[2(x-2)\big]^2-5^2$$ qui est une identité remarquable de la forme \(a^2-b^2\) et qui se factorise sous la forme \((a-b)(a+b)\). Ainsi,$$f(x)=\big[2(x-2)-5\big]\big[2(x-2)+5\big]=(2x-9)(2x+1).$$

En revanche, si \(f(x)=4(x-2)^2+25\) alors on voit de suite qu’il n’y a pas de factorisation possible (car cause de sa maudit « + » avant le dernier nombre).

Cette remarque permet alors de dire que si \(f(x)=a(x+\alpha)^2+\beta\) avec \(\beta<0\) alors il n’y a pas de factorisation possible pour f(x). Snif !

Cela dit, manipuler la forme canonique d’une fonction du second degré est relativement contraignant dans la pratique. En effet, la fonction est très souvent sous la forme développée. Dans ce cas, il faut trouver des formules à partir de la forme développée. Qu’à cela ne tienne ventrebleu !

Considérons que \(f(x)=ax^2+bx+c\). En factorisant par a, on obtient:$$f(x)=a\left[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right].$$ Maintenant, tout repose que le fait que : $$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$$ et donc que:$$x^2+2kx=(x+k)^2-k^2.$$On peut alors, en posant \(2k=\frac{b}{a}\), et donc \(k=\frac{b}{2a}\), écrire:$$f(x)=a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]$$ soit:$$f(x)=a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$$ (en réduisant au même dénominateur).

On remarque que dans les crochets, ça se factorise uniquement si \(b^2-4ac\geq0\). Comme il y a une condition sur la quantité \(b^2-4ac\), elle est considérée comme importante. On va donc lui donner un petit nom; ce sera \(\Delta\), que l’on va dénommer par le discriminant de la fonction du second degré. On aboutit donc à une propriété fondamentale:

\(f(x)=ax^2+bx+c\) se factorise si et seulement si \(\Delta=b^2-4ac\geq0\).

Et on peut même donner la factorisation dans le cas où \(\Delta\geq0\):$$f(x)=a\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right).$$On peut d’ailleurs remarquer que dans le cas où \(\Delta=0\), les deux racines carrées sont égales et cela donne:$$f(x)=a
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.$$Ainsi, si \(\Delta=0\) on peut dire que f(x) est une identité remarquable.

Ces résultats sont bien pratiques quand on souhaite résoudre une équation de la forme \(ax^2+bx+c=0\).

Le lancer de crottes de nez

Non non, je n’ai pas disjoncté… Enfin… tout est relatif!

Les lois de Newton permettent d’affirmer que tout objet lancé avec un certain angle avec l’horizontale et avec une certaine force suit une trajectoire parabolique. Et c’est donc valable pour les crottes de nez… Bon, comme je n’ai pas trouver d’illustrations avec des crottes de nez, je me contenterai d’une balle de tennis… ReSnif !

La trajectoire d’une balle lancée est une parabole

On arrive à démontrer que l’équation de l’objet lancé est : $$ y=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+(\tan\alpha)x+y_0$$où \(\alpha\) est l’angle selon lequel on lance l’objet, \(g\approx9,81\) (accélération de la pesanteur sur notre bonne vieille planète Terre) et \(v_0\) la vitesse à laquelle on lance l’objet (elle peut être assez élevée dans le cas d’un lancer de crottes de nez, surtout si on est un.e. expert.e.).

À l’aide des mathématiques, si on connaît à peu près la vitesse que l’on donne à une crotte de nez, alors on peut trouver l’angle que l’on doit adopter pour atteindre sa cible… Sympa non ?

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