La dérivation au lycée

L’outil de dérivation est un outil mathématique très puissant. Il permet notamment de trouver les variations de certaines fonctions assez simplement. Voyons cela ensemble.

Au commencement, une tangente…

Imaginons la courbe représentative d’une fonction « sans trou » (en termes mathématiques, on dirait plutôt : une fonction continue) sur un intervalle quelconque.

Fixons sur cette courbe un point et plaçons sur cette même courbe un autre point M qui peut bouger sur la courbe. Il peut notamment se rapprocher de plus en plus de A.

À partir de ces deux points A et M, traçons la droite (AM) et regardons ce qu’il advient de cette droite quand M se rapproche de A:

Une corde d’une courbe devient une tangente

On peut voir que la droite (AM) se rapproche de plus en plus de la droite qui « frôle » la courbe en A. Cette dernière droite est appelée la tangente à la courbe au point A.

Interprétation numérique

Notons (a ; f(a)) les coordonnées du point et (x ; f(x)) celles de M. Le coefficient directeur de la droite (AM) est : $$ \frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Maintenant, on peut voir x comme étant égal à a+h, où h est un nombre quelconque. Dans ce cas, le coefficient directeur s’écrit : $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Ce dernier quotient est appelé le taux d’accroissement de f en a. Et d’après ce qui a été vu précédemment, on peut dire que lorsque h se rapproche de 0 (c’est-à-dire quand x se rapproche de a), ce taux d’accroissement se rapproche du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A.

Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente en A est égal à la limite du taux d’accroissement quand h se rapproche de 0. Le nombre ainsi obtenu est appelé le nombre dérivé de f en a, et on le note f'(a). Ainsi,$$f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Un exemple

Considérons la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x². Alors, quel que soit le nombre a, f(a) = a² et quelle que soit la valeur de h, f(a+h) = (a+h)² = a² + 2ah + h². Ainsi, le taux d’accroissement de f en a est:$$\begin{align}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\&=\frac{2ah+h^2}{h}\\&=\frac{h(2a+h}{h}\\&=2a+h.\end{align}$$

Pour obtenir le nombre dérivé de f en a, il suffit maintenant de prendre h=0 dans le résultat obtenu; on trouve alors que f ‘(a) = 2a.

Cela signifie par exemple que si a = 3, la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées (3 ; 3²) a un coefficient directeur égal à 2a=2×3=6.

Pourquoi faire tout ça ?

Et bien parce qu’on peut se dire que si on peut savoir le signe du nombre dérivé, alors on saura si la tangente est croissante ou décroissante. Et on constate que quand la tangente à une courbe est croissante, cela signifie que la fonction est croissante (bon, je me permets quelques libertés mais c’est uniquement pour que vous compreniez bien).

Bingo ! On vient de trouver une méthode pour savoir si une fonction est croissante ou décroissante… Il suffit de trouver le signe des nombres dérivés ! Dans l’écriture f ‘(a), a désigne un nombre quelconque; je peux donc très bien utiliser une autre lettre, par exemple x. Ainsi, le nombre dérivé peut s’écrire f ‘(x), pour tout réel x… Et qu’est-ce que cela définit ? Et bien, cela définit une fonction ! C’est ce que l’on va appeler la fonction dérivée de f.

Précédemment, pour f(x) = x², nous avions trouvé ‘(a) = 2a, donc on peut aussi écrire f ‘(x) = 2x. On peut alors dire que la dérivée de f(x) = x² est la fonction ‘(x) = 2x. Et comme 2x > 0 pour x > 0, on peut alors dire que la fonction f est strictement croissante pour tout x>0 (et donc strictement décroissante pour x<0).

C’est la raison pour laquelle on commence par calculer le nombre dérivé d’une fonction en une valeur quelconque a : c’est pour ensuite établir des formules qui vont nous servir à aller plus vite par la suite. Les formules qui sont données dans le cours sont issues de tels calculs et servent donc à aller plus vite pour trouver les fonctions dérivées.

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