Démonstrations du théorème de Pythagore

Avant-propos

Il faut savoir d’abord que le théorème de Pythagore n’a pas été trouvé par Pythagore lui-même. Ce théorème était connu bien avant (en Mésopotamie, mais aussi par les chinois).

La version du théorème telle que nous la connaissons aujourd’hui a tout de même un rapport avec le mathématicien; c’est en effet l’un de ses disciples, un de ses élèves si l’on veut, qui aurait découvert ce résultat. Mais je ne vais pas aller plus loin pour ce qui est de l’histoire.

Dans cet article, j’avais envie de vous montrer quelques démonstrations du théorème de Pythagore, sachant qu’il en existe plus de 100…

La démonstration d’Euclide

Accessible uniquement avec les outils de collège, cette démonstration est tout de même bien costaude… J’ai créé ici un GIF qui montre les étapes de cette démonstration.

Démonstration d’Euclide du théorème de Pythagore

Je vais détailler les étapes:

  • d’abord, on construit un triangle ABC rectangle en A. Sur ses trois côtés, on construit un carré;
  • on trace la parallèle à (CI) passant par A; elle coupe [BC] en J et [IH] en K. Les triangles ACI et JCI sont la même aire car ils ont la même base [CI] et la même hauteur [CJ];
  • de plus, si on tourne le triangle ACI de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre on trouve le triangle FCB, qui a la même aire que FCA, car ils ont la même base [FC] et la même hauteur [AC];
  • on en déduit donc que FCA (qui représente la moitié du carré FCAG) et JCI (qui représente la moitié du rectangle CIKJ) ont la même aire, donc FCAG et CIKJ ont aussi la même aire;
  • un raisonnement identique peut démontrer que le carré ABED a la même aire que le rectangle JKHB;
  • or, l’aire de JKHB à laquelle on ajoute l’aire de CIKJ donne l’aire du carré CBHI, dont est égale à BC²;
  • de plus, l’aire du carré FCAG est égale à AC² et celle du carré ABED est égale à AB², donc la somme de ces deux aires est AB² + BC²;
  • comme l’aire de CBHI est égale à la somme des aires de FCAG et ABED, cela donne l’égalité : BC² = AB² + AC². On obtient alors l’égalité de Pythagore.

La démonstration de James Garfield

James Abraham Garfield était un président des Etats-Unis d’Amérique. Il était aussi un passionné de mathématiques. Il fit la démonstration suivante.

On considère un triangle ABC rectangle en A, et on construit le triangle BEF (un triangle avec les mêmes mesures que ABC) comme sur la figure suivante:

Démonstration du théorème de Pythagore par James Garfield

Les triangles ABC et BEF étant semblables, les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{EBF}\) sont complémentaires, c’est-à-dire que la somme de leur mesure est égale à 90°. Or, A, B et E sont alignés sont \(\widehat{ABE}=180^\circ\), ce qui signifie donc que \(\widehat{CBF}=90^\circ\). Le triangle CBF est donc rectangle en B, et son aire vaut donc c²/2.

De plus, l’aire de ABC vaut ab/2, tout comme l’aire de BEF. Donc la somme de ces deux aires vaut ab. Ainsi, l’aire du polygone CAEF vaut c²/2+ab.

Or, CAEF est un trapèze, donc son aire vaut : $$\frac{(B+b)\times h}{2}$$où b représente la petite base (donc ici AC, donc b), B représente la grande base (donc ici EF, donc a) et h représente la hauteur (donc ici AE, soit a+b). La formule donne alors:$$\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{a^2+b^2+2ab}{2}.$$

Les deux expressions \(\frac{a^2+b^2+2ab}{2}\) et c²/2+ab représentent la même aire, donc elles sont égales:$$\begin{align}\frac{a^2+b^2+2ab}{2}=\frac{c^2}{2}+ab & \iff a^2+b^2+2ab=c^2+2ab\\ & \text{ (en multipliant par 2 de chaque côté)} \\ & \iff a^2 + b^2=c^2. \end{align}$$ On a ainsi l’égalité de Pythagore.

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