La dérivation au lycée

L’outil de dérivation est un outil mathématique très puissant. Il permet notamment de trouver les variations de certaines fonctions assez simplement. Voyons cela ensemble.

Au commencement, une tangente…

Imaginons la courbe représentative d’une fonction « sans trou » (en termes mathématiques, on dirait plutôt : une fonction continue) sur un intervalle quelconque.

Fixons sur cette courbe un point et plaçons sur cette même courbe un autre point M qui peut bouger sur la courbe. Il peut notamment se rapprocher de plus en plus de A.

À partir de ces deux points A et M, traçons la droite (AM) et regardons ce qu’il advient de cette droite quand M se rapproche de A:

Une corde d’une courbe devient une tangente

On peut voir que la droite (AM) se rapproche de plus en plus de la droite qui « frôle » la courbe en A. Cette dernière droite est appelée la tangente à la courbe au point A.

Interprétation numérique

Notons (a ; f(a)) les coordonnées du point et (x ; f(x)) celles de M. Le coefficient directeur de la droite (AM) est : $$ \frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Maintenant, on peut voir x comme étant égal à a+h, où h est un nombre quelconque. Dans ce cas, le coefficient directeur s’écrit : $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Ce dernier quotient est appelé le taux d’accroissement de f en a. Et d’après ce qui a été vu précédemment, on peut dire que lorsque h se rapproche de 0 (c’est-à-dire quand x se rapproche de a), ce taux d’accroissement se rapproche du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A.

Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente en A est égal à la limite du taux d’accroissement quand h se rapproche de 0. Le nombre ainsi obtenu est appelé le nombre dérivé de f en a, et on le note f'(a). Ainsi,$$f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Un exemple

Considérons la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x². Alors, quel que soit le nombre a, f(a) = a² et quelle que soit la valeur de h, f(a+h) = (a+h)² = a² + 2ah + h². Ainsi, le taux d’accroissement de f en a est:$$\begin{align}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\&=\frac{2ah+h^2}{h}\\&=\frac{h(2a+h}{h}\\&=2a+h.\end{align}$$

Pour obtenir le nombre dérivé de f en a, il suffit maintenant de prendre h=0 dans le résultat obtenu; on trouve alors que f ‘(a) = 2a.

Cela signifie par exemple que si a = 3, la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées (3 ; 3²) a un coefficient directeur égal à 2a=2×3=6.

Pourquoi faire tout ça ?

Et bien parce qu’on peut se dire que si on peut savoir le signe du nombre dérivé, alors on saura si la tangente est croissante ou décroissante. Et on constate que quand la tangente à une courbe est croissante, cela signifie que la fonction est croissante (bon, je me permets quelques libertés mais c’est uniquement pour que vous compreniez bien).

Bingo ! On vient de trouver une méthode pour savoir si une fonction est croissante ou décroissante… Il suffit de trouver le signe des nombres dérivés ! Dans l’écriture f ‘(a), a désigne un nombre quelconque; je peux donc très bien utiliser une autre lettre, par exemple x. Ainsi, le nombre dérivé peut s’écrire f ‘(x), pour tout réel x… Et qu’est-ce que cela définit ? Et bien, cela définit une fonction ! C’est ce que l’on va appeler la fonction dérivée de f.

Précédemment, pour f(x) = x², nous avions trouvé ‘(a) = 2a, donc on peut aussi écrire f ‘(x) = 2x. On peut alors dire que la dérivée de f(x) = x² est la fonction ‘(x) = 2x. Et comme 2x > 0 pour x > 0, on peut alors dire que la fonction f est strictement croissante pour tout x>0 (et donc strictement décroissante pour x<0).

C’est la raison pour laquelle on commence par calculer le nombre dérivé d’une fonction en une valeur quelconque a : c’est pour ensuite établir des formules qui vont nous servir à aller plus vite par la suite. Les formules qui sont données dans le cours sont issues de tels calculs et servent donc à aller plus vite pour trouver les fonctions dérivées.

Démonstrations du théorème de Pythagore

Avant-propos

Il faut savoir d’abord que le théorème de Pythagore n’a pas été trouvé par Pythagore lui-même. Ce théorème était connu bien avant (en Mésopotamie, mais aussi par les chinois).

La version du théorème telle que nous la connaissons aujourd’hui a tout de même un rapport avec le mathématicien; c’est en effet l’un de ses disciples, un de ses élèves si l’on veut, qui aurait découvert ce résultat. Mais je ne vais pas aller plus loin pour ce qui est de l’histoire.

Dans cet article, j’avais envie de vous montrer quelques démonstrations du théorème de Pythagore, sachant qu’il en existe plus de 100…

La démonstration d’Euclide

Accessible uniquement avec les outils de collège, cette démonstration est tout de même bien costaude… J’ai créé ici un GIF qui montre les étapes de cette démonstration.

Démonstration d’Euclide du théorème de Pythagore

Je vais détailler les étapes:

  • d’abord, on construit un triangle ABC rectangle en A. Sur ses trois côtés, on construit un carré;
  • on trace la parallèle à (CI) passant par A; elle coupe [BC] en J et [IH] en K. Les triangles ACI et JCI sont la même aire car ils ont la même base [CI] et la même hauteur [CJ];
  • de plus, si on tourne le triangle ACI de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre on trouve le triangle FCB, qui a la même aire que FCA, car ils ont la même base [FC] et la même hauteur [AC];
  • on en déduit donc que FCA (qui représente la moitié du carré FCAG) et JCI (qui représente la moitié du rectangle CIKJ) ont la même aire, donc FCAG et CIKJ ont aussi la même aire;
  • un raisonnement identique peut démontrer que le carré ABED a la même aire que le rectangle JKHB;
  • or, l’aire de JKHB à laquelle on ajoute l’aire de CIKJ donne l’aire du carré CBHI, dont est égale à BC²;
  • de plus, l’aire du carré FCAG est égale à AC² et celle du carré ABED est égale à AB², donc la somme de ces deux aires est AB² + BC²;
  • comme l’aire de CBHI est égale à la somme des aires de FCAG et ABED, cela donne l’égalité : BC² = AB² + AC². On obtient alors l’égalité de Pythagore.

La démonstration de James Garfield

James Abraham Garfield était un président des Etats-Unis d’Amérique. Il était aussi un passionné de mathématiques. Il fit la démonstration suivante.

On considère un triangle ABC rectangle en A, et on construit le triangle BEF (un triangle avec les mêmes mesures que ABC) comme sur la figure suivante:

Démonstration du théorème de Pythagore par James Garfield

Les triangles ABC et BEF étant semblables, les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{EBF}\) sont complémentaires, c’est-à-dire que la somme de leur mesure est égale à 90°. Or, A, B et E sont alignés sont \(\widehat{ABE}=180^\circ\), ce qui signifie donc que \(\widehat{CBF}=90^\circ\). Le triangle CBF est donc rectangle en B, et son aire vaut donc c²/2.

De plus, l’aire de ABC vaut ab/2, tout comme l’aire de BEF. Donc la somme de ces deux aires vaut ab. Ainsi, l’aire du polygone CAEF vaut c²/2+ab.

Or, CAEF est un trapèze, donc son aire vaut : $$\frac{(B+b)\times h}{2}$$où b représente la petite base (donc ici AC, donc b), B représente la grande base (donc ici EF, donc a) et h représente la hauteur (donc ici AE, soit a+b). La formule donne alors:$$\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{a^2+b^2+2ab}{2}.$$

Les deux expressions \(\frac{a^2+b^2+2ab}{2}\) et c²/2+ab représentent la même aire, donc elles sont égales:$$\begin{align}\frac{a^2+b^2+2ab}{2}=\frac{c^2}{2}+ab & \iff a^2+b^2+2ab=c^2+2ab\\ & \text{ (en multipliant par 2 de chaque côté)} \\ & \iff a^2 + b^2=c^2. \end{align}$$ On a ainsi l’égalité de Pythagore.

Des pourcentages à toutes les sauces

D’aussi loin que je me souvienne, je n’ai cessé d’entendre ci et là des absurdité sur les pourcentages. Je pense que c’est la notion mathématique la moins comprise, et pas seulement par les élèves, mais par tout le monde… y compris certains journalistes.

Il est donc de mon devoir de tenter de rétablir les choses. Et cela commence par cet article.

C’est quoi un pourcentage ?

Bon, déjà, la question que l’on peut se poser est celle-ci, mais elle est mal posée car la réponse est complexe : c’est une valeur relative. Vous êtes bien avancés n’est-ce pas ? En plus, c’est pas totalement exact car il n’existe pas qu’une seule sorte de pourcentages…

Un pourcentage comme une partie d’un tout

C’est la première définition que l’on voit dans notre vie :

Si on considère un groupe de personnes, un pourcentage de ce groupe est une partie du groupe. C’est une fraction de ce groupe.

Le prof de math, M. LAFREU, en 6ème Z.

En effet, si on considère un groupe de 150 personnes par exemple, 30% de ces personnes représentent un sous-groupe constitué de moins de 150 personnes. Pour calculer le nombre de personnes que cela représente, il suffit de se dire que 30% est exactement comme la fraction \(\frac{30}{100}\) et que le nombre cherché se calcule ainsi : $$ \frac{30}{100}\times150=\frac{30\times150}{100}=\frac{4500}{100}=45.$$ Ainsi, 30% de 150 personnes représentent 45 personnes.

Et l’inverse ? Comment fait-on pour trouver le pourcentage ?

Comme un pourcentage est une fraction (dont le dénominateur est égal à 100), si on cherche le pourcentage que représentent 45 personnes par rapport à 150 personnes, il suffit de traduire ce rapport par une fraction : \(\frac{45}{150}\). Et comme on veut le ramener à 100 (car dans « pourcentage », il y a « cent »), il faut multiplier cette fraction par 100. Ainsi, 45 personnes par rapport à 150 personnes représentent \(\frac{45}{150}\times100=\frac{45\times100}{150}=30%\).

Un pourcentage est une valeur relative

c’est-à-dire une valeur qui se rapporte à un autre nombre

On ne peut donc pas parler simplement de « 55% » sans dire le nombre par rapport auquel on effectue le pourcentage. Il faut toujours dire « 55% d’un nombre ».

Récréation

Que représente en pourcentage la partie coloriée en bleu ?

Pour savoir ce que représente en pourcentage la partie coloriée en bleu par rapport à l’aire du carré, on peut avant tout compter le nombre de carreaux dans le carré : il y en a 100. Ensuite, il y a 13 carreaux coloriés en bleu, sur les 100 au total. Cela représente donc 13% de l’aire du carré.

Pourcentages d’évolution

C’est là que les choses se compliquent un peu. Imaginons la situation suivante : un article vaut 150 € et un mois plus tard, il vaut 200 €. Il y a donc eu évolution du prix. Mais quel genre d’évolution ? Comme le prix a augmenté, on parle bien sûr d’augmentation. Mais quelle augmentation par rapport au prix initial ? On voit bien que le prix a augmenté de 50 €. Il s’agit donc ici de regardé ce que représentent 50 € par rapport au prix initial, à savoir 150 € : \(\frac{50}{150}\times100\approx33,33%\). On dit alors que le prix a augmenté d’environ 33%.

Coefficient multiplicateur

On peut aussi diviser le prix final par le prix initial \(\frac{200}{150}\approx1,33\). Ce résultat nous donne ce que l’on appelle le coefficient multiplicateur. On remarque alors qu’il est égal à \(1+\frac{30}{100}\). Il y a donc un lien entre le coefficient multiplicateur (CM) et le pourcentage d’évolution, que l’on nomme aussi le taux d’évolution (t):$$\text{CM}=1+\frac{t}{100}.$$On a donc la formule suivante:$$\text{valeur finale}=\text{CM}\times\text{valeur initiale}=\left(1+\frac{t}{100}\right)\times\text{valeur initiale}.$$

Évolutions successives

Imaginons maintenant que le prix d’un article augmente de 5% par an pendant 2 ans. Après ces 2 années, de combien a-t-il augmenté par rapport au prix initial ? Pour répondre à cette question, on peut illustrer la situation ainsi:$$\text{V_0}\rightarrow V_1=\left(1+\frac{5}{100}\right)\times V_0 \rightarrow V_2=\left(1+\frac{5}{100}\right)V_1=\left(1+\frac{5}{100}\right)^2V_0 .$$Autrement dit, \(V_2=\text{CM}^2V_0\). Et en généralisant, on peut même écrire que \(V_5=\text{CM}^5V_0\) et plus encore :$$\text{pour }n\text{ entier, }V_n=\text{CM}^nV_0.$$

Evolution moyenne

Imaginons qu’un article voit son prix augmenté de 30% sur 5 ans. Tout journaliste médiocre qui se respecte affirmera sans scrupule que cela signifie que le prix a augmenté de 6% par an car \(30\div5=6\). Pourtant, si on applique la formule précédente, en prenant par exemple \(V_0=100\), on voit que:$$V_5=\left(1+\frac{6}{100}\right)^5\times100\approx133,82.$$Or, comme le prix a augmenté de 30% sur 5 ans, on devrait trouver au final 130€. Le journaliste dit donc n’importe quoi.

En effet, pour connaître le pourcentage d’évolution annuel moyen, il faudrait avant tout connaître le nombre CM tel que \(\text{CM}^5=1,3\) car le coefficient multiplicateur pour passer du prix initial au prix final est \(1+\frac{30}{100}=1,3\) dans la mesure où le pourcentage d’évolution est 30%. On obtient alors \(\text{CM}=\sqrt[5]{1,3}=1,3^{1/5}\approx1,05387\). En multipliant par 100 la partie décimale, on obtient 5,387. Le pourcentage annuel moyen d’évolution est donc égal à peu près à 5,387% et non 6%.

Paraboles et second degré

Non, ce n’est pas le titre d’une pièce de théâtre burlesque, même si je trouverais ça plutôt intéressant, mais le titre d’un article qui va traiter des polynômes de degré 2, qui sont généralement enseignés dans lycées Français.

Au commencement…

Tout part de la fonction \( x\mapsto x^2\), que l’on appelle la fonction carré. C’est une fonction simple puisqu’elle consiste à élever au carré le nombre x, quel qu’il soit. On dit alors que l’image de x est son carré.

Par exemple, l’image du nombre -3 est \((-3)^2\), c’est-à-dire 9.

La courbe représentative de cette fonction est alors la suivante:

Courbe représentative de la fonction carré

Cette courbe fait partie d’une grande famille que l’on nomme la famille des paraboles, elle-même incluse dans une famille plus vaste que l’on appelle les coniques.

Les coniques sont des courbes géométriques aux propriétés intéressantes. Nous allons nous pencher sur l’une des propriétés des paraboles : la propriété de réfraction.

La propriété de réfraction

Imaginons des rayons du Soleil qui arrivent sur notre parabole d’équation \(y=x^2\). Le Soleil étant assez loin, on peut estimer que les rayons arrivent parallèlement à l’axe des ordonnées (on imagine que la parabole est posée de sorte que ce soit le cas) .

Considérons un rayon qui arrive jusqu’à un point sur la parabole (en pointillés bleus et rose sur le schéma ci-dessous. On trace alors une droite qui frôle la parabole en ce point (on dit que cette droite est tangente à la parabole); c’est la droite en trait plein (bleue et rose sur le schéma). Alors, le rayon fait un certain angle avec cette tangente (\(\alpha\) et \(\gamma\) sur le schéma). La propriété de réfraction des paraboles font que ce rayon sera réfracté de sorte que le rayon réfracté fera un angle égal à l’angle que fait le rayon réfléchi avec la tangente (en d’autres termes, \(\alpha=\beta\) et \(\gamma=\delta\)).

Propriété de réfraction des paraboles

Ce qu’il y a d’intéressant est que tous les rayons se réfractent vers un même point; c’est ce que l’on appelle le foyer de la parabole.

Le foyer de la parabole

Toute parabole admet un axe de symétrie : c’est la droite qui passe par le foyer et le sommet de la parabole.

Les paraboloïdes

Ce mot semble un peu compliqué, et c’est sans doute pour cela que dans le langage courant, on préfère les dénommer paraboles, tout simplement…

Les paraboloïdes sont en fait les objets qui résultent de la rotation d’une parabole autour de leur axe de symétrie. C’est, par exemple, la parabole qui va recevoir des informations provenant d’un satellite.

Une parabole qui capte des signaux provenant de satellites

Bon, on ne va pas se mentir, la forme paraboloïde, on ne la voit pas beaucoup car les paraboles que l’on accroche aux murs de nos maisons sont formées à partir du « cul » de la parabole (en effet, il ne faudrait pas que la parabole que l’on accroche soit trop incurvée sinon certains signaux pourraient ne pas parvenir en son intérieur pour être réfractés).

Et z »avez remarqué ? Il y a comme qui dirait un bidule à quelques dizaines de centimètres de l’objet… Et bien, comme par hasard, ce bidule (qui est en fait un récepteur) se trouve à l’endroit même où se trouve le foyer de la parabole. C’est donc au niveau de ce récepteur que tous les signaux vont se dirigés (conformément à la propriété de réfraction des paraboles, et donc des paraboloïdes). Et bien sûr, c’est fait exprès… sinon les signaux se perdraient ! Mais ça, vous l’avez compris…

Revenons aux mathématiques

Si l’on part de la fonction carré et si on la multiplie par un nombre a, on va l’étirer (vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0). Si dessous, j’ai représenté en vert la fonction carré, en rouge la fonction \(x\mapsto 2x^2\) (donc a = 2) et en bleu la fonction \(x\mapsto -1,5x^2\) (donc a = -1,5).

Étirements de la courbe représentative de la fonction carré

Si maintenant je pose \(f(x)=x^2\) et que je considère les fonctions de la forme \(g(x)=f(x+\alpha)\), je vais pouvoir visualiser les courbes représentatives des fonctions en effectuant une translation de vecteur \(\vec{u}(-\alpha;0)\). Ci-dessous, j’ai tracé la courbe représentative de la fonction \(x\mapsto(x+2)^2\).

Translation horizontale de la courbe représentative de la fonction carré

Et enfin, toujours à partir de la fonction carré, si je pose \(h(x)=x^2+\beta\), j’obtiens la courbe représentative de h à partir de la représentation de la fonction carré en faisant une translation de vecteur \(\vec{v}(0;\beta)\). Ci-dessous, j’ai tracé la représentation de la fonction \(x\mapsto x^2-2\).


Translation verticale de la courbe représentative de la fonction carré

Nous avons séparément 3 transformations; pour \(f(x)=x^2\),

  • étirements : \( af(x)\)
  • translation horizontale : \( f(x+\alpha) \)
  • translation verticale : \( f(x) + \beta\).

Et parce que je suis un « guedin », j’ai envie de faire ces 3 transformations en même temps ! Je vais donc considérer la fonction \(g\;:\;x \mapsto a\cdot f(x+\alpha) + \beta\). Ouais, je suis un fou moi !

Dans ce cas, \(g(x)=a(x+\alpha)^2+\beta\). Cette forme porte un nom précis : c’est une forme canonique. Et en l’occurrence, g(x) est ce que l’on nomme une fonction du second degré. C’est la forme algébrique générale de toutes les paraboles qui existent.

Et quand on développe une telle forme canonique, on obtient une expression développée : \( g(x) = ax^2+bx+c\).

Une forme factorisée ?

Quand on a la forme développée d’une fonction du second degré, si on a la chance de pouvoir trouver sa forme canonique, on peut voir assez facilement si la fonction peut se factoriser.

Par exemple, si \(f(x)=4(x-2)^2-25\) alors on peut voir cette expression sous la forme : $$f(x)=\big[2(x-2)\big]^2-5^2$$ qui est une identité remarquable de la forme \(a^2-b^2\) et qui se factorise sous la forme \((a-b)(a+b)\). Ainsi,$$f(x)=\big[2(x-2)-5\big]\big[2(x-2)+5\big]=(2x-9)(2x+1).$$

En revanche, si \(f(x)=4(x-2)^2+25\) alors on voit de suite qu’il n’y a pas de factorisation possible (car cause de sa maudit « + » avant le dernier nombre).

Cette remarque permet alors de dire que si \(f(x)=a(x+\alpha)^2+\beta\) avec \(\beta<0\) alors il n’y a pas de factorisation possible pour f(x). Snif !

Cela dit, manipuler la forme canonique d’une fonction du second degré est relativement contraignant dans la pratique. En effet, la fonction est très souvent sous la forme développée. Dans ce cas, il faut trouver des formules à partir de la forme développée. Qu’à cela ne tienne ventrebleu !

Considérons que \(f(x)=ax^2+bx+c\). En factorisant par a, on obtient:$$f(x)=a\left[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right].$$ Maintenant, tout repose que le fait que : $$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$$ et donc que:$$x^2+2kx=(x+k)^2-k^2.$$On peut alors, en posant \(2k=\frac{b}{a}\), et donc \(k=\frac{b}{2a}\), écrire:$$f(x)=a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]$$ soit:$$f(x)=a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$$ (en réduisant au même dénominateur).

On remarque que dans les crochets, ça se factorise uniquement si \(b^2-4ac\geq0\). Comme il y a une condition sur la quantité \(b^2-4ac\), elle est considérée comme importante. On va donc lui donner un petit nom; ce sera \(\Delta\), que l’on va dénommer par le discriminant de la fonction du second degré. On aboutit donc à une propriété fondamentale:

\(f(x)=ax^2+bx+c\) se factorise si et seulement si \(\Delta=b^2-4ac\geq0\).

Et on peut même donner la factorisation dans le cas où \(\Delta\geq0\):$$f(x)=a\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right).$$On peut d’ailleurs remarquer que dans le cas où \(\Delta=0\), les deux racines carrées sont égales et cela donne:$$f(x)=a
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.$$Ainsi, si \(\Delta=0\) on peut dire que f(x) est une identité remarquable.

Ces résultats sont bien pratiques quand on souhaite résoudre une équation de la forme \(ax^2+bx+c=0\).

Le lancer de crottes de nez

Non non, je n’ai pas disjoncté… Enfin… tout est relatif!

Les lois de Newton permettent d’affirmer que tout objet lancé avec un certain angle avec l’horizontale et avec une certaine force suit une trajectoire parabolique. Et c’est donc valable pour les crottes de nez… Bon, comme je n’ai pas trouver d’illustrations avec des crottes de nez, je me contenterai d’une balle de tennis… ReSnif !

La trajectoire d’une balle lancée est une parabole

On arrive à démontrer que l’équation de l’objet lancé est : $$ y=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+(\tan\alpha)x+y_0$$où \(\alpha\) est l’angle selon lequel on lance l’objet, \(g\approx9,81\) (accélération de la pesanteur sur notre bonne vieille planète Terre) et \(v_0\) la vitesse à laquelle on lance l’objet (elle peut être assez élevée dans le cas d’un lancer de crottes de nez, surtout si on est un.e. expert.e.).

À l’aide des mathématiques, si on connaît à peu près la vitesse que l’on donne à une crotte de nez, alors on peut trouver l’angle que l’on doit adopter pour atteindre sa cible… Sympa non ?

Le théorème de Pythagore sert-il réellement ?

Pythagore de Samos

Introduction

Pythagore de Samos (ville grecque) est connu pour « son » théorème (nous verrons pourquoi ces guillemets plus tard), mais à 18 ans, il a avant tout participé aux jeux olympiques, catégorie pugilat (c’est comme la boxe, sauf qu’il y avait du fer dans les gants… valait mieux pas se prendre une mandale!). Et il était très bon puisqu’il remporta toutes les épreuves.

Ensuite, il voyagea… beaucoup ! Il s’installa en Egypte pendant 20 ans et retourna en Grèce après 40 ans de voyage. Je vous passe les détails mais il fonda par la suite une école à Crotone, en Italie.

Pour plus de détails, consultez la page https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-mathematiciens/175-pythagore-de-samos

.

Dans cette école, il y avait les mathématiciens, c’est-à-dire ceux qui faisaient les maths, et les acousmaticiens, ceux qui écoutaient les autres et notamment, les résultats (sans les démonstrations… un peu comme les élèves de collège). C’est dans cette école que l’on vit le théorème de Pythagore (qui n’a donc pas été trouvé par Pythagore lui-même mais par un de ses élèves).

Cependant, il faut savoir que ce théorème était bien connu des chinois, et même des mésopotamiens… Mais sous une forme plus basique. 

Le théorème de l’ami Pyth.

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Hippase de Métaponte, élève de Pythagore de Samos.
Théorème de Pythagore

Le mot hypoténuse vient du grec et signifie « sous-tendu », car c’est le côté qui est sous-tendu à l’angle droit (les grecs représentaient un triangle rectangle toujours le sommet de l’angle droit en haut).

À ce théorème, on associe sa réciproque :

Si, dans un triangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore.

À quoi sert tout ça ?

Vérifier si une étagère est perpendiculaire au mur

L’étagère est-elle perpendiculaire au mur ?

En sachant les longueurs AB, AC et BC, on peut voir d’une part que: $$BC^2=1,34^2=1,7956$$ et d’autre part :$$AB^2+AC^2=0,6^2+1,2^2=1,8.$$ (attention ici a exprimer toutes les mesures en la même unité, à savoir ici le mètre).

On constate alors que \( BC^2 \approx AB^2 + AC^2 \) donc, avec la précision des mesures qui nous est naturellement imposée, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A et donc que l’étagère est perpendiculaire au mur.

Soulever une armoire

Va-t-il y arriver ?

Voici un problème classique qui fait appel à Pythagore. En effet, l’armoire peut-être considérée comme un rectangle, et donc en la coupant suivant sa diagonale, on a un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires ont pour mesure 0,7 m et 2,1 m. Donc d’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse mesure \(\sqrt{0,7^2+2,1^2}=\sqrt{4,9}\approx2,2136\) mètres, donc légèrement plus grande que la hauteur du plafond.

Ainsi, pour que l’armoire puisse basculer correctement, il faudrait carrément forcer comme une brute, quitte à casse le coin de l’armoire ou bien, si on a anticipé en faisant ce calcul, monter directement l’armoire à la verticale plutôt qu’à l’horizontale.

Dans un repère orthogonal (lycée)

Après le collège, beaucoup de mathématiques se font dans un repère : ce sont les mathématiques cartésiennes (du nom du mathématicien français René Descartes). En effet, c’est bien plus pratique dans pas mal de cas! Un tel repère est constitué de deux axes gradués perpendiculaires (ne sentez-vous pas Pythagore ?) 

Pour comprendre, prenons un exemple : on met deux points A et B au hasard. 

Calcul de la distance entre deux points dans un repère orthogonal (ici orthonormé)

Ici, on dit que le point A a pour coordonnées (1;2) et que le point B a pour coordonnées (7;5).

Pour calculer la longueur AB, on peut utiliser le théorème de Pythagore car le segment rouge et les segments en pointillés verts forment un triangle rectangle. Ainsi, $$AB^2=6^2+3^2=36+9=45$$ et donc:$$AB=\sqrt{45}.$$Dans un contexte comme celui-ci, on ne met pas de valeur approchée. On garde donc \(\sqrt{45}\) ou, si on veut, \(3\sqrt{5}\), ce qui est la même chose car:$$\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\sqrt5.$$

Pouvoir calculer une longueur ainsi s’avère très utile en mathématiques dans des contextes plus compliqués. On peut ainsi, par exemple, calculer la distance qui sépare un point d’une droite.

Les triplets pythagoriciens

Définition

Il n’y a pas qu’en géométrie que l’on rencontre Pythagore. En effet, en arithmétique, on nomme triplets pythagoriciens tout triplet (x;y;z) tels que \(x^2+y^2=z^2\).

On dira que le triplet est primitif si xy et z sont premiers entre eux, c’est-à-dire si pgcd(x;y)=1, pgcd(x;z)=1 et pgcd(y;z)=1.

Propriétés

Une propriété sur les triplets pythagoriciens primitifs est:

Si (x;y;z) est un triplet pythagoricien primitif alors x et y sont de parité différentes. z est alors impair.

Propriété sur les triplets pythagoriciens primitifs.

Il y a aussi le théorème suivant :

Il y a équivalence entre les deux propriétés suivantes:

(i) (x;y;z) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair

(ii) il existe deux entiers non nuls p et q de parités différentes tels que p > q, pgcd(p;q)=1, tels que x = p² – q², y = 2pq et z = p² + q².

Théorème fondamental sur les triplets pythagoriciens.

À l’aide de ce théorème, on peut alors trouver tous les triplets pythagoriciens primitifs que l’on veut. Par exemple, ceux dont les termes sont inférieurs à 100 sont:

(3, 4, 5)   (20, 21, 29) (11, 60, 61)

(13, 84, 85) (5, 12, 13)  (12, 35, 37)

(16, 63, 65) (36, 77, 85) (8, 15, 17)  

(9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89) 

(7, 24, 25)  (28, 45, 53) (48, 55, 73)

(65, 72, 97)

Génération algébrique

En 1934, Berggren démontra que tout triplet pythagoricien pouvait se trouver à partir du triplet (3;4;5) à l’aide des matrices:$$\mathcal{R}_1=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix},\ \mathcal{R_2}=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},\ \mathcal{R}_3=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}.$$

Par exemple, en posant \(P=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\),$$\mathcal{R}_1\times
\mathcal{R}_2\times\mathcal{R}_3\times P=\begin{pmatrix}115\\252\\277\end{pmatrix}$$ qui est un triplet pythagoricien primitif.

Une application complexe

Penchons-nous sur l’application complexe \(z \mapsto z^2\) et plus particulièrement sur l’image des entiers de Gauss, c’est-à-dire des nombres z tels que z = a + ib, où a et b sont deux entiers relatifs. Ces nombres constituent un ensemble que l’on note \(\mathbb{Z}[\text{i}]\). L’image d’un élément de \(\mathbb{Z}[\text{i}]\) est: $$ z’=(a+\text{i}b)^2=a^2-b^2+2ab\text{i}.$$De plus, on remarque que:$$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2.$$ On peut alors dire qu’à chaque image correspond un triplet pythagoricien.

Le théorème de Pythagore généralisé

L’inconvénient du théorème de Pythagore est que le triangle doit être rectangle. Dans le cas où ce dernier ne l’est pas, on peut tout de même calculer un côté dans la mesure où l’on connaît au moins un angle : c’est le théorème d’Al-Kashi.

Théorème d’Al-Kashi

Dans le cas où \(\hat{A}=90^\circ\), on retrouve le théorème de Pythagore.

Épilogue

Bon, je me suis un peu lâché dans cet article, je l’avoue… Mais la chose à retenir, c’est que le théorème de Pythagore est très utile en sciences, mais peut aussi servir de temps en temps dans la vraie vie.

À quoi peuvent servir les fonctions affines ?

Introduction et définition

Les fonctions affines sont les fonctions de la forme \(x\mapsto mx+p\) , où m et p sont deux nombres quelconques. Dans le cas où p = 0, la fonction est dite linéaire.

Ces fonctions sont enseignées au collège car elles ont une importance capitale dans la vie de tous les jours. Nous allons voir dans cet article quelques unes de leurs applications. Car après tout, on est en droit de se demander pourquoi ces fonctions existent…

Degrés Celsius et degrés Fahreneit

Quand il fait 30° Celsius en France, les américains disent qu’ils fait 86° Fahreneit. Quand il fait 20° C, il fait 68° F. Ces deux données  seules ne nous permettent pas de deviner une formule pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahreneit… pas encore en tout cas ! Il nous faut plus de données!

On peut constater que 5° C = 41° F et que 10° C = 50° F. Ces deux données nous montrent qu’il n’y a pas proportionnalité entre les deux unités, sinon on aurait 10° C = 42° F (le double de 5°C serait égal au double de 41°F).

Si on reporte ces 4 valeurs sur un graphique, on obtient ceci:

Graphique de correspondance entre degrés Celsius et degrés Fahreneit

Les coordonnées des points sont : A(5;41), B(10;50), C(20;68) et D(30;86). Tous ces points sont alignés sur une même droite. Cela sous-entend qu’il y a bel et bien une formule qui permet de passer d’une unité à l’autre; on dit que la relation mathématique est affine.

Pour connaître cette relation, on peut déjà constater que pour 0°C, on a 32°F donc: $$ \text{° F} = 32 + \ldots \text{° C.}$$

Maintenant, effectuons un calcul : on a vu que 5°C = 41°F, mais que faut 6°C en °F ? Pour le trouver, on peut utiliser un convertisseur en ligne, et on trouver que 6°C = 42,8°F. Autrement dit, pour 1°C en plus, on augmente de (42,8-41) = 1,8°F. Donc, à 32°F (qui correspond à 0°C), on va ajouter autant de fois 1,8°F qu’il y a de °C. En écrivant tout cela mathématiquement, on dit que si x représente la température en °C et y celle en °F, on a : $$y=32+1,8\times x$$ que l’on écrit aussi de façon simplifiée : $$y=1,8x+32.$$ On voit alors que y est une expression affine de x car y=mx+p, avec m = 1,8 et p = 32.

Prix de la course

Quand on ne possède pas de véhicule, il y a plusieurs façons d’aller d’un point A à un point B dont faire le trajet en taxi, en uber, en transport en commun, etc.

Si le temps consacré au trajet n’est pas une priorité, on peut faire son choix en regardant les tarifs. Penchons-nous sur les taxis.

Clipart taxi

Supposons que la prise en charge soit égale à 2€, c’est-à-dire que l’on paie 2€ dès que l’on entre dans le taxi. La compagnie de taxis nous informe que le tarif kilométrique est 1,66€; ainsi, à chaque kilomètre parcouru, on paiera 1,66€. Si on note x le nombre de kilomètres parcourus alors le tarif final est :$$2+1,66 \times x$$ soit, en simplifiant l’écriture : $$1,66x+2.$$ On constate ainsi que ce tarif est une fonction affine.

Bon, pour ce dernier exemple, j’ai simplifié pour mieux comprendre mais dans la réalité, c’est un peu plus compliqué car le tarif minimum est fixé par la loi à 7,10€ en 2018. Il y a aussi les suppléments à prendre en compte (pour plus d’explications, voir cette page).

La course en Uber, quant à elle, n’est pas une fonction affine car elle prend en compte deux variables.

https://www.uber.com/fr/fare-estimate/

En effet, Uber facture 1,40€/km et 0,25€/min. Ainsi, si x représente le nombre de kilomètres et y te temps (en minutes) alors le prix final est:$$1,4x+0,25y$$ qui n’est même pas une fonction à 1 variable (mais à 2 variables). Pour le fun, voici à quoi ressemble la représentation graphique de cette fonction (faite avec Python):

Graphique représentant le tarif d’une course Uber – Réalisé avec Python

Longueur d’un ressort

Illustration de l’élongation d’un ressort

Un ressort a toujours une longueur « à vide » : c’est sa longueur quand rien ne lui est attaché. Il a aussi sa constante de raideur, souvent notée k; c’est un nombre qui va dire s’il est plus ou moins « souple ». L’élongation (voir schéma ci-dessus) est proportionnelle à la masse suspendue au ressort, et le coefficient de proportionnalité est égal à k. Ainsi, la longueur du ressort est : $$\ell_0 + km$$ où m est la masse (exprimée en kg) et \(\ell_0\) la longueur à vide du ressort.

Là encore, la longueur du ressort est une fonction affine.

Épilogue

Nous avons vu ici quelques exemples concrets directs, mais il faut garder en tête que les fonctions affines servent à bien plus de choses. Au lycée par exemple, on aborde la notion de tangente à une courbe et cette tangente est la représentation d’une fonction affine. Son coefficient directeur peut correspondre à des indicateurs bien concrets comme par exemple la vitesse d’un mobile ou la vitesse de propagation d’un virus. Il y a aussi des applications en économie. On ne peut donc pas dire que les fonctions affines ne servent à rien.