À quoi peuvent servir les fonctions affines ?

Introduction et définition

Les fonctions affines sont les fonctions de la forme \(x\mapsto mx+p\) , où m et p sont deux nombres quelconques. Dans le cas où p = 0, la fonction est dite linéaire.

Ces fonctions sont enseignées au collège car elles ont une importance capitale dans la vie de tous les jours. Nous allons voir dans cet article quelques unes de leurs applications. Car après tout, on est en droit de se demander pourquoi ces fonctions existent…

Degrés Celsius et degrés Fahreneit

Quand il fait 30° Celsius en France, les américains disent qu’ils fait 86° Fahreneit. Quand il fait 20° C, il fait 68° F. Ces deux données  seules ne nous permettent pas de deviner une formule pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahreneit… pas encore en tout cas ! Il nous faut plus de données!

On peut constater que 5° C = 41° F et que 10° C = 50° F. Ces deux données nous montrent qu’il n’y a pas proportionnalité entre les deux unités, sinon on aurait 10° C = 42° F (le double de 5°C serait égal au double de 41°F).

Si on reporte ces 4 valeurs sur un graphique, on obtient ceci:

Graphique de correspondance entre degrés Celsius et degrés Fahreneit

Les coordonnées des points sont : A(5;41), B(10;50), C(20;68) et D(30;86). Tous ces points sont alignés sur une même droite. Cela sous-entend qu’il y a bel et bien une formule qui permet de passer d’une unité à l’autre; on dit que la relation mathématique est affine.

Pour connaître cette relation, on peut déjà constater que pour 0°C, on a 32°F donc: $$ \text{° F} = 32 + \ldots \text{° C.}$$

Maintenant, effectuons un calcul : on a vu que 5°C = 41°F, mais que faut 6°C en °F ? Pour le trouver, on peut utiliser un convertisseur en ligne, et on trouver que 6°C = 42,8°F. Autrement dit, pour 1°C en plus, on augmente de (42,8-41) = 1,8°F. Donc, à 32°F (qui correspond à 0°C), on va ajouter autant de fois 1,8°F qu’il y a de °C. En écrivant tout cela mathématiquement, on dit que si x représente la température en °C et y celle en °F, on a : $$y=32+1,8\times x$$ que l’on écrit aussi de façon simplifiée : $$y=1,8x+32.$$ On voit alors que y est une expression affine de x car y=mx+p, avec m = 1,8 et p = 32.

Prix de la course

Quand on ne possède pas de véhicule, il y a plusieurs façons d’aller d’un point A à un point B dont faire le trajet en taxi, en uber, en transport en commun, etc.

Si le temps consacré au trajet n’est pas une priorité, on peut faire son choix en regardant les tarifs. Penchons-nous sur les taxis.

Clipart taxi

Supposons que la prise en charge soit égale à 2€, c’est-à-dire que l’on paie 2€ dès que l’on entre dans le taxi. La compagnie de taxis nous informe que le tarif kilométrique est 1,66€; ainsi, à chaque kilomètre parcouru, on paiera 1,66€. Si on note x le nombre de kilomètres parcourus alors le tarif final est :$$2+1,66 \times x$$ soit, en simplifiant l’écriture : $$1,66x+2.$$ On constate ainsi que ce tarif est une fonction affine.

Bon, pour ce dernier exemple, j’ai simplifié pour mieux comprendre mais dans la réalité, c’est un peu plus compliqué car le tarif minimum est fixé par la loi à 7,10€ en 2018. Il y a aussi les suppléments à prendre en compte (pour plus d’explications, voir cette page).

La course en Uber, quant à elle, n’est pas une fonction affine car elle prend en compte deux variables.

https://www.uber.com/fr/fare-estimate/

En effet, Uber facture 1,40€/km et 0,25€/min. Ainsi, si x représente le nombre de kilomètres et y te temps (en minutes) alors le prix final est:$$1,4x+0,25y$$ qui n’est même pas une fonction à 1 variable (mais à 2 variables). Pour le fun, voici à quoi ressemble la représentation graphique de cette fonction (faite avec Python):

Graphique représentant le tarif d’une course Uber – Réalisé avec Python

Longueur d’un ressort

Illustration de l’élongation d’un ressort

Un ressort a toujours une longueur « à vide » : c’est sa longueur quand rien ne lui est attaché. Il a aussi sa constante de raideur, souvent notée k; c’est un nombre qui va dire s’il est plus ou moins « souple ». L’élongation (voir schéma ci-dessus) est proportionnelle à la masse suspendue au ressort, et le coefficient de proportionnalité est égal à k. Ainsi, la longueur du ressort est : $$\ell_0 + km$$ où m est la masse (exprimée en kg) et \(\ell_0\) la longueur à vide du ressort.

Là encore, la longueur du ressort est une fonction affine.

Épilogue

Nous avons vu ici quelques exemples concrets directs, mais il faut garder en tête que les fonctions affines servent à bien plus de choses. Au lycée par exemple, on aborde la notion de tangente à une courbe et cette tangente est la représentation d’une fonction affine. Son coefficient directeur peut correspondre à des indicateurs bien concrets comme par exemple la vitesse d’un mobile ou la vitesse de propagation d’un virus. Il y a aussi des applications en économie. On ne peut donc pas dire que les fonctions affines ne servent à rien.

décembre 18, 2018

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