Cours particuliers de maths à Bordeaux: comprendre l’algèbre facilement

Cours particuliers de maths à Bordeaux: comprendre l’algèbre facilement.

C’est une mission délicate que je m’apprête à exécuter, mais j’aime les défis!

L’algèbre est une partie des mathématiques très souvent fustigée par les élèves de collège. En effet, c’est une discipline perçue comme abstraite pour la plupart.

Au collège, on l’aborde en 4ème, c’est-à-dire vers l’âge de 14 ans, car c’est à cet âge que le néocortex est assez développé pour tenir des raisonnements abstraits.

Cours particuliers de maths à Bordeaux: la naissance de l'algèbre

Al-Khwârismî était un mathématicien arabe né dans les années 780, dans une région proche de l’actuel Ouzbékistan. Il a écrit un livre intitulé Kitābu ‘l-mukhtaṣar fī ḥisābi ‘l-jabr wa’l-muqābalah ( Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison ) qui donna naissance au mot « algèbre » dans notre langue.

Mais la notion même d’algèbre remonte à l’Antiquité égyptienne. En effet, les scribes disposaient de techniques pour la solution numérique à un problème simple soumis à certaines conditions (aujourd’hui, on dirait qu’ils savaient résoudre des équations simples).

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Cours particuliers de maths à Bordeaux: qu'est-ce que l'algèbre ?

L’Algèbre est un domaine assez vaste composant l’une des branches des mathématiques.

Il peut être vu de plusieurs manières différentes. Je vais exposer les choses simplement.

Vous avez peut-être vu passer des images comme celle ci-contre; il est ici question de déterminer la valeur que représente chacun des fruits pour ensuite calculer la somme finale. Ceci est un problème d’algèbre.

L’algèbre consiste à symboliser des nombres inconnus par des objets, ou par des lettres comme « x » et « y ».

Bon, c’est un peu réducteur, mais ça ira pour les élèves de collège et lycée…

Pourquoi avoir inventé l'algèbre ?

Et bien, parce que c’est tout de même plus pratique de symboliser un nombre que l’on cherche par une lettre ou un objet .

Et des nombres que l’on cherche, il y en a beaucoup dans la vie :

  • combien dois-je dépenser par mois au maximum en électricité pour pouvoir payer ?
  • sur quelle distance dois-je courir pour perdre 100 grammes ?
  • quelles doivent être les dimensions de ma toile pour que mon tableau ait une aire de 100 cm² ?
  • avec quelle force et quel angle dois-je lancer ma balle pour que celle-ci atteigne un certain sommet ?

On peut bien entendu imaginer d’autres questions moins basiques, qui se posent par exemple dans le cadre professionnel.

En inventant l’algèbre, nous avons inventé un monde à part, dans lequel il est possible de faire certaines opérations. En disant cela, on se rapproche de la réelle définition de l’algèbre.

L’algèbre, c’est comme un jeu vidéo : il y a des règles à respecter. Si tu ne les respectes pas, c’est Game Over pour toi !

Les opérations en algèbre

Dans ce monde qu’est l’algèbre, il y a donc des opérations à éviter et celle que l’on peut faire. À l’aide de ces dernières, on peut trouver la valeur numérique d’une quantité inconnue: on peut résoudre une équation.

Mais rassurez-vous: ces opérations sont les mêmes que celles que l’on utilise avec des nombres. Et c’est normal car les objets (ou lettres) que l’on prend en algèbre représente des quantités, donc des nombres!

Al-jabr et al-muqabala

La traduction de « al-jabr » est : « réduction » (d’une fracture). Cette opération consiste à faire en sorte qu’une égalité ne comporte plus de soustraction. Pour cela, on ajoute à droite et à gauche un même nombre.

Mais al-jabr ne suffit quelques fois pas pour résoudre une équation. Al-muqabala consiste à faire en sorte que chaque « objet » de même nature se trouve du même côté de l’égalité.

Si « x » représente un nombre et si on sait que 3x + 1 = x + 7, on a le droit de soustraire « 1 » de part et d’autre du signe « = », ce qui donne :

3x + 1 – 1 = x + 7 – 1

soit:

3x = x + 6.

Mais on a aussi le droit de soustraire « x » de part et d’autre du signe « x »:

3x – x = x + 6 – x

ce qui donne :

2x = 6.

La raison pour laquelle nous avons fait ces opérations est d’obtenir une égalité où il n’y a plus d’inconnue à droite du signe « = ».

Si deux objets ont une valeur numérique égale à 6, cela signifie qu’un objet vaut 3. Nous avons ici utiliser le principe de proportionnalité, valable bien sûr en algèbre: on divise par 2 à droite et à gauche du signe « = » :

(2x) / 2 = 6 / 2

soit :

x = 3.

Les problèmes de collège mal adaptés?

Au collège, les enseignant·e·s tentent tant bien que mal de proposer aux élèves des problèmes se ramenant à l’algèbre qui les motivent.

Mais il ne faut pas se mentir chers collègues: il faut redoubler d’effort pour en trouver qui soient réellement concrets. Je pense que proposer aux élèves des « problèmes d’école » est contre-productif. Les élèves peuvent se sentir pris pour des imbéciles.

Par exemple, même s’il est intéressant de prendre un exercice où l’on manipule la formule de conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit,  ces mêmes élèves, habitués à utiliser Internet, rétorqueront qu’il est inutile de voir tout ça puisque Google permet de faire ces conversions. N’oubliez-pas que vous ne vous adressez pas qu’aux élèves passionné·e·s de sciences… D’ailleurs, au moins 60% des élèves se ficheront sûrement de la façon dont on convertit ces unités.

Le rôle de l’enseignant·e est donc ici de trouver l’habillage de l’exercice. Le thème en soit est intéressant, donc il serait dommage de le laisser tomber.

Peut-être serait-il judicieux justement de partir du constat que Google peut le faire pour établir la formule.

Sur une ligne isotherme (expliquer le mot), on observe les températures dans deux villes: l’une en France, où la température est exprimée en degrés Celsius (°C), l’autre aux États-Unis d’Amérique, où la température est exprimée en degrés Fahrenheit (°F). On a ainsi pu remplir le tableau suivant:

France (°C)0-1010
États-Unis (°F)321450

Trouvez une formule de la forme °F = a × °C + b, qui permet de passer de la première ligne à la seconde.

Ce genre d’exercices permet de rendre actif·ve l’élève face à une situation mathématique.

Mais il est évident que, comme au solfège, il faut faire ses gammes en algèbre. Cela passe donc par des exercices sans contexte. Il est alors nécessaire d’expliquer aux élèves que ces exercices permettent d’acquérir des automatismes qui nous permettrons plus tard de pouvoir faire plus facilement des exercices plus concrets.

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